Gewinner der Karl Max von Bauernfeind-Medaille 2016
Träume und Wahrheiten
fatum 3 | , S. 38
Inhalt

Frege e il progetto del logicismo

Frege und das Projekt des Logizismus

Italienisch

Nel 1884 Gottlob Frege ha reso noto nell’introduzione de Die Grundlage der Arithmetik che in ogni ambito della matematica era manifesta l’ispirazione streng [mathematisch] zu beweisen und die Begriffe der Mathematik [selbst] scharf zu fassen.1 Seguendo questa ispirazione Frege ha sviluppato verso la fine del 19esimo secolo il cosiddetto logicismo: quest’ ultimo rappresentava una posizione della filosofia della matematica, i cui maggiori esponenti erano Frege e il filosofo inglese Bertrand Russell. L’obiettivo del progetto di questa corrente era quello di costruire un fondamento sicuro su cui basare i concetti fondamentali della matematica e dell’aritmetica. L’idea di fondo di Frege comprendeva la convinzione che l’aritmetica potesse avere solo un fondamento logico in quanto tutte le sue leggi avrebbero dovuto lasciarsi ridurre a quelle logiche. Il fondamento puramente logico dell’aritmetica sarebbe possibile perché die arithmetischen Gesetze analytische Urteile und folglich a priori sind. Demnach würde die Arithmetik nur eine weiter ausgebildete Logik, jeder arithmetische Satz ein logisches Gesetz, jedoch ein abgeleitetes sein.2

Per raggiungere il suo obiettivo Frege avrebbe dovuto dedurre e dimostrare le leggi della matematica servendosi solamente di quelle logiche. Sebbene l’obiettivo di Frege fosse già stato esplicitato ne Die Grundlage der Arithmetik, il suo progetto logicistico ha inizio solo nelle Grundgesetze: Frege non metteva ormai più in dubbio che l’aritmetica fosse semplicemente un ulteriore sviluppo della logica. La sfida consisteva ora nel ricondurre le leggi dell’aritmetica alla logica.3 Per rendere questo proposito possibile doveva innanzitutto essere definita la struttura della lingua formale, i cui segni avrebbero sostituito quelli aritmetici nelle dimostrazioni. Successivamente Frege avrebbe definito e elencato le leggi fondamentali della logica per dedurre quelle matematiche.4 Il quinto dei sei assiomi utilizzati da Frege avrebbe avuto un ruolo fondamentale nel sistema: con l’aiuto dei sei assiomi sarebbe stato possibile infatti dedurre affermazioni riguardo il passaggio dall’estensione (Wertverlauf) di una funzione ovvero di un concetto agli oggetti che rientrano in quel concetto:

├ ἐƒ(ε) = ἀg(α) = ∀x[ƒ(x) = g(x)]5

Quest’ultimo afferma che due concetti F e G hanno lo stesso Wertverlauf – cioè la stessa estensione – solamente nel caso in cui F e G hanno lo stesso Umfang. F e G hanno lo stesso Umfang se per ogni argomento x vale: f(x) = g(x).

Nella prefazione delle Grundgesetze Frege scrive: Ein Streit kann hierbei, soviel ich sehe, nur um mein Grundgesetz der Werthverläufe (V) entbrennen, […]. Ich halte es für rein logisch.6

Frege riteneva che l’assioma V fosse una tautologia e che il passaggio dai concetti stessi agli oggetti contenuti in questi fosse legittimo. Il 16 giugno 1902 però, poco prima della stampa del secondo volume delle Grundgesetze, Frege riceveva una lettera da Bertrand Russell, in cui quest’ ultimo gli comunicava che con l’aiuto della logica delle Grundgesetze e l’assioma V aveva riscontrato un paradosso. Frege scrive: Herr Russell hat einen Widerspruch aufgefunden, der nun dargelegt werden mag. […] Fassen wir nun den Begriff ins Auge Klasse, die sich selbst nicht angehört!7 Questo è il paradosso di Russell. Frege stesso ha dimostrato nella postfazione che con la logica e l’assioma V si poteva effettivamente riscontrare un’antinomia. A causa di quest’ultima la logica e la teoria degli insiemi di Frege si sono rivelate inconsistenti e così si esauriva il tentativo fregeano di ridurre l’aritmetica alla logica. Di conseguenza emergeva la domanda riguardo la possibilità di dedurre affermazioni riguardo Wertverläufe senza l’assioma V, dato che il passaggio dal concetto agli oggetti che sono compresi nello stesso porta a contraddizioni e perciò deve essere vietato.8 Nonostante il fallimento del suo tentativo Frege era convinto che l’essere contraddittorio della propria logica non era dovuto solo ad un suo errore. Frege afferma che l’origine del paradosso era da ricercare nell’aritmetica stessa e non solamente nel suo sistema logico. Così scrive nella postfazione: Es handelt sich hierbei nicht um meine Begründungsweise im Besonderen, sondern um die Möglichkeit einer logischen Begründung der Arithmetik überhaupt.9

Sebbene la teoria logicista fregeana si sia rivelata inconsistente non venne completamente abbandonata. Circa 80 anni dopo il fallimento del tentativo fregeano la filosofia della matematica conosce attraverso il filosofo inglese Crispin Wright, considerato il fondatore del neologicismo, una fase neo-fregeana. Nel 1983 Wright cerca nella propria opera Frege’s Conception of Numbers as Objects di avviare un nuovo programma logicistico: egli voleva dedurre gli assiomi Dedekind-Peano10 con l’aiuto di una logica di secondo grado e la legge di Hume, senza fare ricorso all’assioma V, nel tentativo di evitare l’antinomia di Russell e l’inconsistenza che ne deriva. Wright ha mostrato che la logica di secondo grado di Frege e la legge di Hume (HP) non implicano nessuna contraddizione nel sistema.

Richard G. Heck scrive nell’opera reading frege’s grundgesetze riguardo Wright: So Wright was the first to prove what Boolos (1998f, p. 268) suggested we should call Frege’s Theorem: Axioms for arithmetic can be derived in second-order logic from HP and natural definitions of the basic arithmetical concepts.11

La questione riguardante il modo in cui l’aritmetica può essere ridotte alla logica e la problematica riguardo lo status della legge di Hume – la legge di Hume è analitica o sintetica? – sono temi centrali del neologicismo.

Deutsch

1884 wies Gottlob Frege in der Einleitung von Die Grundlagen der Arithmetik darauf hin, dass sich überall in der Mathematik das Bestreben zeigte, streng [mathematisch] zu beweisen und die Begriffe der Mathematik [selbst] scharf zu fassen.1 Diesem Bestreben nachgehend entwickelte Frege gegen Ende des 19. Jahrhunderts den sogenannten Logizismus: Dieser war eine Position in der Philosophie der Mathematik, deren wichtigste Exponenten Frege und der englische Philosoph Bertrand Russell waren. Das Ziel des logizistischen Projekts war es, den mathematischen bzw. arithmetischen Grundbegriffen ein sicheres Fundament zu geben. Freges Idee dahinter war, dass die Arithmetik nur ein logisches Fundament haben könnte, da all ihre Sätze sich auf logische Sätze hätten reduzieren lassen müssen. Die rein logische Begründung der Arithmetik wäre möglich, weil die arithmetischen Gesetze analytische Urteile und folglich a priori sind. Demnach würde die Arithmetik nur eine weiter ausgebildete Logik, jeder arithmetische Satz ein logisches Gesetz, jedoch ein abgeleitetes sein.2

Um dies zu erreichen, hätte Frege die mathematischen Gesetze mithilfe rein logischer Gesetze beweisen und begründen müssen. Obwohl Freges Ziel und Ansicht schon in Die Grundlagen der Arithmetik klar formuliert waren, hat Frege erst in Grundgesetze der Arithmetik mit seinem logizistischen Programm begonnen: Frege hatte keine Zweifel mehr daran, dass die Arithmetik einfach eine Weiterentwicklung der Logik ist. Die Herausforderung war schließlich, die Gesetze der Arithmetik formal auf die Logik zurückzuführen.3 Um das zu ermöglichen, musste zuerst die Struktur der formalen Sprache definiert werden, deren Zeichen in den Beweisen die arithmetischen ersetzen würden. Danach mussten die logischen Grundgesetze definiert und aufgelistet werden, um die arithmetischen Grundgesetze zu beweisen.4 Eines der sechs Axiome, das Grundgesetz V, spielte eine wichtige Rolle im System: Mithilfe dieses Axioms wäre es möglich gewesen, Aussagen über das Übergehen vom Wertverlauf bzw. von der Extension einer Funktion oder eines Begriffes zu den Objekten, die unter den Begriff fallen, zu beweisen:

├ ἐƒ(ε) = ἀg(α) = ∀x[ƒ(x) = g(x)]5

Dieses besagt, dass zwei Begriffe F und G denselben Wertverlauf (value-range) – das heißt dieselbe Extension – haben, genau dann, wenn F und G denselben Umfang haben – F und G haben denselben Umfang, wenn für alle Argumente x gilt: f(x) = g(x).

Im Vorwort seiner Grundgesetze schrieb Frege: Ein Streit kann hierbei, soviel ich sehe, nur um mein Grundgesetz der Werthverläufe (V) entbrennen, […]. Ich halte es für rein logisch.6 Frege dachte, dass das Gesetz V eine logische Wahrheit ist und dass es legitim ist, von Begriffen zu ihren Umfängen überzugehen. Am 16. Juni 1902 aber, als der zweite Band der Grundgesetze kurz vor dem Druck war, bekam Frege einen Brief von Bertrand Russell, in dem er Frege mitteilen musste, dass er mithilfe seiner Logik und des Grundgesetzes V ein Paradoxon gefunden hatte. Frege konnte im Nachwort zu den Grundgesetzen erwähnen, dass Russell das Paradoxon entdeckt hatte. So schrieb Frege: Herr Russell hat einen Widerspruch aufgefunden, der nun dargelegt werden mag. […] Fassen wir nun den Begriff ins Auge Klasse, die sich selbst nicht angehört!7 Das ist nämlich das Russellsche Paradoxon*. Frege selbst bewies im Nachwort, dass das Paradoxon mithilfe seiner Logik und des Grundgesetzes V entdeckt werden kann. Wegen des Russellschen Paradoxons stellten sich Freges Logik und Mengenlehre als inkonsistent heraus und damit ging auch Freges Versuch zu Ende, die Arithmetik auf die Logik zurückzuführen. Damit stellte sich ihm die Frage, wie Aussagen über Wertverläufe ohne das Grundgesetz V bewiesen werden können, nämlich dann, wenn das Übergehen von einem Begriff zu seinem Umfang zu Widersprüchen führt und daher verboten werden soll.8 Trotz des Scheiterns seines Versuchs war Frege überzeugt, dass die Widersprüchlichkeit seiner Logik nicht nur an diesem Fehler lag. Er behauptete, die Entstehung des Paradoxons läge im Wesen der Arithmetik selbst und nicht allein in seinem logischen System. So schrieb er im Nachwort: Es handelt sich hierbei nicht um meine Begründungsweise im Besonderen, sondern um die Möglichkeit einer logischen Begründung der Arithmetik überhaupt.9

Obwohl Freges logizistische Theorie sich als inkonsistent herausgestellt hatte, wurde sie nicht komplett aufgegeben. Erst ungefähr 80 Jahre nach dem Scheitern von Freges Versuch erlebte die Philosophie der Mathematik mit dem englischen Philosophen Crispin Wright – der als Gründer des Neo-Logizismus gilt – the Neo-Fregean revival. 1983 versuchte Wright in seinem Buch Frege’s Conception of Numbers as Objects mit einem neuen logizistischen Projekt zu beginnen: Er wollte die Dedekind-Peano Axiome10 mithilfe einer Logik zweiter Stufe und Humes Prinzip**, aber ohne Grundgesetz V ableiten, um das Russellsche Paradoxon und die daraus folgende Inkonsistenz zu vermeiden. Wright zeigte, dass Freges Logik zweiter Stufe und Humes Prinzip (HP) widerspruchsfrei sind. Richard G. Heck schreibt in seinem Buch reading frege’s grundgesetze über Wright: So Wright was the first to prove what Boolos (1998f, p. 268) suggested we should call Frege’s Theorem: Axioms for arithmetic can be derived in second-order logic from HP and natural definitions of the basic arithmetical concepts.11

Die Frage, inwiefern die Arithmetik sich auf die Logik reduzieren lässt, und die eng damit verbundene Frage nach dem Status von Humes Prinzip – ist Humes Prinzip analytisch oder synthetisch? –, sind zentrale Themen des Neo-Logizismus.


  1. Gottlob Frege, Die Grundlagen der Arithmetik (Reclam, 2001), 25.
  2. Ibid., 119.
  3. Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik, Band I (Hildesheim: Olms, 1966), 7 im Vorwort.
  4. Ibid., 61. Hier befindet sich die Zusammenstellung der Grundgesetze in der Annotation der Begriffschrift. Für die Zusammenstellung der sechs Axiome in unserer Annotation: Richard G. Heck, Reading Frege’s Grundgesetze (Oxford: Oxford University Press, 2015), 8. Hier erklärt Heck: Here, f and g are variables ranging over (unary) functions, and a term of the form ἐΦ(ε) is to be read: the value-range of Φ. Basic Law V thus says that two functions have the same value-range just in the case they always have the same value for the same argument.
  5. Ibid., 18. Für die Annotation der Begriffschrift: Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik, 61.
  6. Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik, 7 im Vorwort.
  7. Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik, Band II (Hildesheim: Olms, 1966), 253–254.
  8. Ibid., 253.
  9. Ibid.
  10. Vgl. Richard G. Heck, 145.
  11. Richard G. Heck, 6.

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